Hvad er omkredsen af det viste trapez
Areal
I dette kapitel vil vi undersøge, hvordan man beregner arealet af forskellige geometriske figurer. Vi begynder med rektanglet og bevæger os derefter videre til andre former. For hver af dem vil vi give en begrundelse for, hvorfor arealformlen ser ud, som den gør.
Rektanglet
Et rektangel er en firkant, hvor alle vinkler er 90 grader.
Man finder arealet ved at multiplicere længden med bredden.
$$A=l\cdot b$$
Et eksempel er, at et rektangel med en længde på 3 og en bredde på 2 har et areal på 6. Dette ses i denne tegning.
Retvinklet trekant
Når vi beskæftiger os med trekanter, betegnes arealet ofte med T.
Vi finder arealet af en retvinklet trekant ved at multiplicere de to kateter med hinanden og dividere med to.
$$T=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$$
Bemærk, at hvis vi kalder b for grundlinjen, er a højden til b. Derfor kan vi også skrive formlen
$$T=\frac{1}{2}\cdot \text{højde}\cdot \text{grundlinje}$$
$$T=\frac{1}{2}\cdot h\cdot g$$
Lad os se på, hvorfor formlen ser ud, som den gør. Hvis vi "kopierer" vores retvinklede trekant, vender kopien på hovedet og placerer den oven på den originale, har vi et rektangel.
Arealet af to retvinklede trekanter svarer til arealet af et rektangel (længde gange bredde).
$$2T=a\cdot b$$
Vi multiplicerer med en halv på begge sider af lighedstegnet
$$ \frac{1}{\not2}\cdot\not2\cdot T=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$$
$$T=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$$
og dermed har vi fundet formlen.
Trekant
For en vilkårlig trekant gælder den samme arealform:
$$T=\frac{1}{2}\cdot h\cdot g$$
Grunden til, at formlen ser sådan ud, er, at højden deler trekanten i to retvinklede trekanter.
Vi ved ikke, hvor grundlinjen deles, men hvis vi kalder den lille del for x, er den store del resten af grundlinjen (grundlinjen fratrukket x (g-x)).
Trekants arealet er summen af den grønne trekanter og den orange trekants areal. Den grønne trekant har kateterne x og h, så arealet er
$$T_\text{grøn}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot x$$
Den orange trekant har kateterne h og (g-x), så arealet er
$$T_\text{orange}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (g-x)=\frac{1}{2}\cdot h\cdot g-\frac{1}{2}\cdot h\cdot x$$
Summerer vi dem, får vi trekants totale areal.
$$T=\underbrace{\frac{1}{2}\cdot h\cdot x}_{T_\text{grøn}}+\underbrace{\frac{1}{2}\cdot h\cdot g-\frac{1}{2}\cdot h\cdot x}_{T_\text{orange}}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot g$$
Og der er vi fremme ved arealformlen.
Parallellogram
Et parallelogram er en firkant, hvor siderne parvist er parallelle.
Man finder parallelogrammets areal ved at gange højden med grundlinjen.
$$A=\text{højde}\cdot \text{grundlinje} \\A=h\cdot a$$
For at forstå formlen: hvis man flytter den blå retvinklede trekant fra venstre til højre, får man et rektangel med arealet længde gange bredde, altså a gange h.
Trapez
Et trapez er en firkant, hvor to af siderne er parallelle. De parallelle sider kaldes a1 og a2. De øvrige sider kan kaldes b og c, men de er irrelevante for areaberegningen.
Arealet af et trapez er givet ved formlen:
$$A=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (a_1+a_2)$$
Man summerer de to parallelle sider, ganger med højden og dividerer med to.
Lad os se, hvorfor formlen ser ud som den gør. Vi kan opdele trapezet i to trekanter.
Den orange trekant har grundlinje a2 og højde h, mens den grønne trekant har grundlinje a1 og højde h.
Derfor er deres arealer
$$T_\text{grøn}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot a_1$$
$$T_\text{orange}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot a_2$$
Trapezets areal er summen af de to trekanters arealer.
$$A_{trapez}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot a_1+\frac{1}{2}\cdot h\cdot a_2$$
Nu sætter vi ½h uden for parentesen.
$$A_{trapez}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (a_1+a_2)$$
Og der har vi formlen.
Cirkel
Den sidste figur, vi skal se på, er cirklen.
Man finder arealet af en cirkel ved at multiplicere π med radius i anden potens.
$$A=\pi\cdot r^2$$
Denne formel er lidt sværere at forklare. Lad os prøve at opdele cirklen i mange små stykker, klippe dem ud og omforme dem som på figuren nedenfor
Jo flere stykker, vi opdeler cirklen i, jo mere ligner det et rektangel. Hvert stykke har sidelængde r, så rektanglets bredde er r. Rektanglets længde består af mange små buer. Disse svarer i alt til halvdelen af cirklens omkreds. Vi husker, at en cirkels omkreds er 2πr
$$A=l\cdot b=\frac{1}{2}O\cdot r=\frac{1}{2}(2\cdot\pi\cdot r)\cdot r=\pi\cdot r\cdot r=\pi\cdot r^2$$