Hvad afslører størrelsen og vinklen på en vektor?
Vinkel mellem vektorer
Hvis man illustrerer to (reelle) vektorer fra samme startpunkt, vil der opstå en vinkel mellem dem. Man kan beregne denne vinkel ved hjælp af følgende formel
$$\cos(v)=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}\quad,\qquad\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$$
Cosinus til vinklen mellem to vektorer er altså skalarproduktet divideret med produktet af deres længder.
Ønsker vi at finde vinklen mellem
$$\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\text{ og }\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$$
kan vi beregne den på følgende måde
$$\cos(v)=\frac{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\right|}=\frac{4\cdot4+(-3)\cdot2}{\sqrt{4^2+(-3)^2}\sqrt{4^2+2^2}}=\frac{10}{\sqrt{25}\sqrt{20}}\approx0,$$
$$v=\cos^{-1}(0,)\approx62{,}96^\circ$$
Skalarprodukt og vinkel
Formlen for vinklen mellem to vektorer indeholder et skalarprodukt. Lad os isolere dette udtryk.
$$\cos(v)=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}$$
$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\cos(v)\cdot|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|$$
Hvis skalarproduktet (venstresiden) er positivt, vil højresiden også være positiv. Da længderne af a og b altid er positive, betyder det, at cos(v) er positiv. cos(v) er positiv, når v er under 90 grader.
Hvis skalarproduktet er negativt, vil højresiden også være negativ. Men da længderne altid er positive, betyder det, at cos(v) er negativ. cos(v) er negativ, når v ligger mellem 90 og 180 grader.
Hvis skalarproduktet er 0, så er højresiden 0. Det betyder, at cos(v) er 0. Og det betyder, at vinklen mellem vektorerne er 90 grader.
Således kan vi konstatere
$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0\quad\Leftrightarrow \quad v\text{ er spids}$$
$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0\quad\Leftrightarrow \quad v\text{ er stump}$$
$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\quad\Leftrightarrow \quad v\text{ er ret}$$
Hvad hvis vinklen mellem vektorerne er over 90º?
Hvis vinklen mellem vektor a og vektor b er over 90º, så vil vinklen mellem vektor b og vektor a være mindre end 90º. Desuden vil de to vinkler have den samme cosinusværdi, så det er ikke nødvendigt at overveje det i beregningerne. Når man taler om vinklen mellem to vektorer, vil man typisk tale om vinklen under 180º.