Forskellige former for en ret linjes ligning

Essensen af en linjes matematiske udtryk

På C-niveau blev vi introduceret for, at en ret linjes matematiske beskrivelse følger formen

$$y=ax+b$$

I B-niveau introduceredes vi for en alternativ formulering af en ret linjes ligning, nemlig

$$y=y_0+a(x-x_0)$$

hvor (x₀, y₀) repræsenterer et kendt punkt på linjen.

På A-niveau introduceres vi for en ny måde at udtrykke ligningen for en lige linje. Denne formulering lyder:

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$

hvor

$$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$$

fungerer som en normalvektor for linjen, hvilket betyder, at den er vinkelret på selve linjen.

Dermed kan vi fastslå, at hvis vi kender både en normalvektor og et punkt på linjen, er det muligt at udlede en ligning, der beskriver linjen.

For eksempel, hvis det er kendt, at en vektor

$$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$$

står vinkelret på vores pågældende linje, og at punktet

$$P_0=(1,4)$$

er beliggende på linjen, vil linjens ligning tage formen:

$$3(x-1)+2(y-4)=0$$

ved at foretage udregningen får vi:

$$3x+2y-11=0$$

Efterfølgende foretog vi en udvidelse af parenteserne, hvilket kan generaliseres således:

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$

Ved udregning opnår vi:

$$ax-ax_0+by-by_0=0$$

Ved at omarrangere udtrykket kan det skrives som:

$$ax+by+{\color{Red} {(-ax_0-by_0)}}=0$$

Dette kan forenkles ved at samle konstanterne:

$$ax+by+{\color{Red} c}=0$$

Den sidstnævnte formulering repræsenterer en alternativ metode til at udtrykke ligningen for den rette linje. Den primære begrænsning ved denne form er, at det ikke er umiddelbart muligt at aflæse et specifikt punkt på linjen direkte fra ligningen. Dog er det fortsat muligt at identificere en normalvektor.

$$ax+by+c=0\quad\Leftrightarrow\quad a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$

Forståelse af ligningens opbygning

Vi er bekendt med, at normalvektoren er defineret ved at stå vinkelret på linjen. Hvis et givent punkt, lad os kalde det P, befinder sig på linjen, må vektoren, der strækker sig fra det kendte punkt P₀ til P, ligeledes være ortogonal (altså vinkelret) i forhold til normalvektoren.

$$\overrightarrow{P_0P}\perp\overrightarrow{n}$$

Vi ved, at når to vektorer er ortogonale, er deres skalarprodukt lig med 0. Derfor kan vi konkludere, at hvis punktet P er placeret på linjen, gælder følgende betingelse:

$$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{P_0P}=0$$

Ved at indsætte de respektive koordinater kan skalarproduktet beregnes:

$$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{P_0P}=0$$

Dette resulterer i:

$$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{pmatrix}=0$$

Ved at udføre multiplikationen af vektorerne får vi:

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$

Dette forklarer grundlæggende årsagen til, at ligningen for en linje har netop denne struktur.

Videolæringsressource

Vigtig bemærkning: I den medfølgende video præsenteres linjens ligning som \( a(y-y_0)+b(x-x_0)=0 \). Dette stemmer ikke overens med definitionen af en normalvektor som \( \overrightarrow{n} = (a,b) \), som anvendt i artiklen, men derimod med en normalvektor på formen \( \overrightarrow{n} = (b,a) \).